Planos y rectas

recta están representado en una función y=mx+b, una función lineal donde m es diferente de cero
donde m y b son:
- m : es la pendiente... m>0, quiere decir que la función es creciente y si m<0 es decir que la función es decreciente
- b : es la coordenada en y, donde la recta corta el eje y

planos están representado mediante la ecuación ax+by+cz+d=0...
- si un punto es perpendicular a un vector, esta se halla con el producto punto del vector  y el punto
de un sistema de referencia igual a 0

Vectores

Un vector es una magnitud física definida en un sistema de referencia y tiene como características de que es una magnitud, sentido y dirección. por lo general para representa si es un vector se le agrega una flecha encima.








Operaciones que se puede realizar con los vectores.

suma y resta: dado una dos vectores que al sumar o restarla como resultado es un vector resultante






Como sumar o restar vectores?

A= (a1, a2, a3)
B=( b1, b2, b3)
R = (a1 + b1, , a2 + b2,  , a3 +  b3)

para restar es similar lo único que cambia es el signo mas por menos...

Multiplicación por escalar: al multiplicar una constante con un vector, lo que hay que tener en cuenta que la constante multiplica a todos los componentes del vector..

KA = (ka1, ka2, ka3)


Normas del vector: es el modulo o la longitud de un vector que se halla con la raiz cuadrada de la suma cuadradas de sus componentes, es decir:

un vector U=(u1, u2, u3.... un) :
||U|| =  





Vector Unitario: el vector unitario de un modulo es igual a 1

vector V = U/||U||; después hallar ||V|| = 1

Producto punto o producto escalar consiste en multiplicar componente, y sumar con la multiplicación del siguiente componente... o si tiene magnitudes y el angulo en el siguiente video se explicará explicita en como hallar el producto punto

Con el mismo producto punto entre dos vectores se es posible también hallar el angulo, que consiste en despejar la formula para hallar el ángulo entre dos vectores... en este vídeo se mostrara como hallar el angulo mediante el producto punto



En el producto punto hay tipos de ángulos es decir:

1. si el producto punto es >0 el angulo es < 90 grados : es un angulo agudo
2. si el producto punto es <0 el angulo es > 90 grados : es un ángulo obtuso
3. si el producto punto es = 0 el angulo es = 90 grados : es ortogonal

Propiedades del producto punto:

1.  el producto punto de si mismo es igual a elevarlo al cuadrado, si el vector v es diferente de cero:

2. El producto punto es conmutativo:




3. El producto punto es distributiva:







si c pertenece a los numero reales :

Producto Cruz (hallar áreas y volúmenes): también se puede expresar en determinantes teniendo en cuenta que la primera fila están los vectores unitarios i, j, k, la segunda fila es el primer vector y la segunda fila el segundo vector, ya que el producto cruz no es conmutativo; también como resultado de un producto cruz es un vector.


Propiedades del producto cruz:

Área de un paralelogramo: es la norma del producto cruz del vector u y v

Área de un triangulo: es la norma del producto cruz del vector U y V pero dividido en 2

 en el video que se muestra muestra el area de un paralelogramo y ademas halla el area de un triangulo:



















Volumen del paralelepípedo: en el paralelepípedo son 3 vectores.. ejemplo 1:

ejemplo 2 para hallar el volumen de un paralelepípedo:

  
para resolver este ejercicio primero hay que halla el producto cruz entre los vectores v y w; después hallar el producto punto